[백준]동적 계획법1/계단 오르기/2579 풀이 JAVA

문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다.

<그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다.

하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

 

출력

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

 

 

풀이(JAVA)

점화식을 만들기 위해 예제를 하나 풀어 보자.

 

아래와 같은 점수를 가진 계단(stair배열)이 있다.

7

6

2

1

5

3

4

 

점수를 누적하여 저장할 배열인 dp의 초기화는 다음과 같다.(무한 재귀를 막기 위한 초기화)

• 계단이 1개일 때는, 하나의 계단을 밟는 것이 누적 점수 최댓값
  • (dp[0] = stair[0])
• 계단이 2개일 때, 두 개의 계단은 다 밟는 것이 누적 점수 최댓값
  • (dp[1] = stair[0] + stair[1])
• 계단이 3개일 때는, 마지막 계단은 꼭 밟고, 나머지 두 개의 계단 중 큰 값을 밟는 것이 누적 점수 최댓값
  • (dp[2] = Math.max(stair[0], stair[1]) + stair[2])

stair와 dp는 아래와 같이 된다.

index	0	1	2	3	4	5	6
stair	7	6	2	1	5	3	4
dp	7	12(7 + 6)	9(7 + 2)	0	0	0	0

 

우리가 구하고자 하는 것은 dp[N - 1]인 dp[6]이다.

 

뒤에서부터 거꾸로 생각해보자.

일단 마지막 계단인 4는 꼭 밟는다.

7

6

2

1

5

3

4

그럼 어느 계단을 밟아야 마지막 계단을 밟았을 때 가장 큰 점수를 얻을까?

두 가지 방법이 있다.

벙법 1	7	6	2	1	5	3	4
방법 2	7	6	2	1	5	3	4

 

(내가 고민한 부분 : 오잉? 다른 방법도 있지 않음?)

 

마지막 계단은 꼭 밟아야한다면(● = 밟음)

계단	N - 3	N - 2	N - 1	N(마지막 계단)
방법 1	●	●		●
방법 2	●		●	●
방법 3		●		●

위와 같은 3가지 방법이 있다.

이때 N - 3 계단을 제외하면 방법 1과 빙법 3는 같다고 볼 수 있다.

N - 3 계단을 제외해도 되는 이유는 아래와 같이 N - 2 계단에서 다시 방법 1~3을 사용할 수 있기 때문이다.

계단	N - 4	N - 3	N - 2
방법 1	?	?	●
방법 3	?	?	●

 

방법 1 : 5 계단을 밟고 4 계단으로 가는 것

방법 2 :  1과 3 계단을 밟고 4 계단으로 가는 것

즉,

방법 1 : 5 + 4 = 9

방법 2 : 1 + 3 + 4 = 8이므로

점수가 큰 방법 1을를 택한다.

 

그럼 아래와 같이 된다.

7

6

2

1

5

3

4

다시 어느 계단을 밟을 때 5 계단으로 가는 최댓값 점수를 얻을 수 있을지 살펴보자.

방법 1	7	6	2	1	5
방법 2	7	6	2	1	5

방법 1은 2 + 5 = 7

방법 2는 6 + 1 + 5 = 12이므로 이번엔 방법 2을 택한다.

 

6을 밟으면 1도 밟는다는 뜻이므로 1에서부터 방법을 다시 알아보는 게 아니라 6에서부터 다시 방법을 알아본다.

이때, 6은 2번째 계단이고 dp[1]에 따르면 6 계단을 밟으면 7 + 6이라는 점수를 얻을 수 있음을 알 수 있다.

7

6

2

1

5

3

4

 

그러므로 stair배열을 아래와 같은 방법으로 건너야 가장 큰 점수를 얻을 수 있다.

7

6

2

1

5

3

4

 

위와 같은 방법은 점화식으로 이렇게 표현해볼 수 있다.

dp[N] = Math.max(방법 1, 방법 2) + stair[N];

즉,

dp[N] = Math.max(find(N - 2), find(N - 3) + stair[N - 1]) + stair[N];

(초록 부분은 왜 find(N - 1)아니고 stair[N - 1]일까? -> 위의 초록 문장)

 

 

설명이 좀 복잡하지만... 한 번 시간을 들여서 이해해보면... 생각보다...

어렵지만........ 그래도 이해는 된다.

 

나머지 설명은 코드에

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이해하는 데 너무 오랜 시간을 써서... 이젠 이 문제에 대해 아무 생각도 안 든다.

그래도 첨에 딱 이해했을 때 기분 좋았다.

코드도 다른 사람들 코드 참고해서 내가 생각하던 코드를 만들어 봤는데

(다른 사람들은 stair과 dp배열이 new int[N + 1]이였지만 나는 new int[N]으로 만들고 싶었다.)

첨엔 인덱스 에러가 엄청 나왔다. 하지만 그 덕분에 문제 이해를 제대로 한 거 같다. 풀이도 맞았고 ㅎ~ 신나